求一个向量的单位向量

记得以前上大学的时候给我印象最深也同时让我最为困惑的就是线性代数这门课，如果说从高中数学到大学的微积分还有一脉相传的关系在里面，那么线性代数几乎就是来自另一个世界的东西，里面的概念极其抽象和难以理解，学了一堆的概念和算法，但你根本不理解背后为什么要这样，也建立不起来任何的数学直觉，考完试之后一个月，保证你忘得连渣渣都不剩，特别是如果你用的也是同济版的教材，那么恭喜你，以上所说的这些保证你一分不差的体验到，学完之后就算原地自闭也不奇怪。如果有人忘了这本书长啥样，喏，封面就是这个。

然后我们再顺便看下知乎以及豆瓣上的评价

这本书最大的特点就是结构及其混乱，知识点支离破碎，学了之后，嗯，保证你直接劝退了。来，我们先欣赏下它的目录：

一上来先给你整个行列式，然后再是矩阵和运算，而整门课最核心的概念——向量，给你放第4章和第5章，而且从来不讲知识点和知识点之间的关系，通篇概念、证明、公式。我就问问，牛逼不？

毕业之后很多年，因为工作上的需要，又重新梳理和学习了线性代数这门课，这里强烈推荐Gilbert Strang教授在MIT的公开课18.06线性代数，老爷子上课幽默风趣又深入浅出，感受一下这位老教授的风采吧。

其次强烈推荐3Blue1Brown系列，这位up主在youtube和b站上有大量的粉丝，主要是通过动画的方式，把一些难以理解的概念和知识点之间的互联联系用很直观的方式展现出来，直接刷新你的三观，让你重新燃起对数学的热爱，其标识就是一只3/4蓝、1/4棕的眼睛，俗称“熟肉”。

那，这个线性代数要怎么学呢？我觉得理解矩阵乘法的规则是理解线性代数的一把钥匙。这个矩阵乘法的规则初看起来十分的怪异，甚至谈不上和乘法有什么关系，曾经让我困惑了很久。

如果要理解这个乘法的规则，首先要从最基本的概念“向量”着手，这里我们要用一种新的方法来重新认识一下这个“向量”。在传统的视角下，向量是具有大小和方向的量，它可以用一个带箭头的线段来表示，箭头代表向量的方向，线段长度代表向量的大小。向量和向量之间可以相加，向量也可以乘上一个数，代表对这个向量长度的一种缩放。既然一个向量满足以上这些运算，那么假如我有一个向量a=(2,1)，我就可以写成x轴单位向量i和y轴单位向量j的组合，见下图所示。i和j分别为单位向量（1,0）和（0,1)。

那么这个时候，向量a可以认为是i和j这两个单位向量的一种线性组合。这种线性组合从某种意义上说刚好又暗合了矩阵乘法的规则，你看是不是这样。

一个向量可以表达为一个线性空间中一组单位向量的线性组合，而这种线性组合又刚好等价于矩阵的乘法法则，这有什么内在的原因吗？

要理解这一点，我们首先要理解什么是线性变换。在一个线性空间中，如果一个向量被旋转或者被拉伸，这种变换我们就可以认为它是一种线性变换，而这个变换本身是可以被一个矩阵所表达，我们来看一个例子。

这个矩阵实际上就代表了逆时针旋转90°这样一种线性变换。我们还是以向量a=(2,1)为例，当这个矩阵乘上这个向量a时，得到结果记为a'，在这里a'=（-1,2）

从上图可以看到a'刚好是向量a逆时针旋转90°所得。那为什么这个矩阵可以代表逆时针旋转90°这样一种线性变换？

仔细观察这个矩阵，可以认这个矩阵是由两个向量所组成的，这两个向量我们记为i'和j'。

而这两个向量又刚好是原单位向量i=（1,0），j=（0,1）逆时针旋转90°之后新的单位向量。（1,0）逆时针旋转90°是不是就是（0,1），（0,1）逆时针旋转90°是不是刚好就是（-1,0）。

那为什么变换后的单位向量组成的这个矩阵可以用来表示逆时针旋转90°这样一种线性变换呢？这个矩阵乘上任何一个向量，得到的新向量都是在原向量基础上逆时针旋转90°。

其实最本质的原因是线性变换是一种等距变换，换句话说，变换后的这个空间仍然是一个线性空间，并没有被扭曲，所以只要知道单位向量是如何变换就能知道空间中任何一个向量是如何变换的，就可以用变换后的单位向量来表示整个变换，即矩阵。

你看，一个向量在变换前可以被表达为一组单位向量的线性组合，变换后仍然可以被表达为一组新的单位向量的线性组合。向量a变了，单位向量也变了，但是这个线性组合的系数没有变，为什么？

仍然是因为线性变换本质上是一种等距变换。

所以矩阵告诉了我们单位向量是如何变换的，而乘法则告诉了我们向量与单位向量之间的线性组合关系。

如果把线性变换看成是一种运动，那么所谓的线性空间就是用来容纳这种运动的。既然是运动，那他一定是相对的。如果我们把空间看成是固定不变的，那么变换的就是向量本身，即向量a经过90°逆时针旋转后变成了向量a'。但是我们也可以把向量看成是不变的，只是说同一个向量在不同的空间中或者说坐标系中有不同的表达方式，即

同一个向量，在单位向量（1，0）、（0，1）组成空间中可以表达为a'，在单位向量（0，1）、（-1，0）组成的空间可以表达为a。

所以矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组单位向量的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个向量给变换成另一个向量，而且也能够把线性空间中用来描述一个坐标系的单位向量换成另一组单位向量。而且，变换向量与变换描述坐标系的单位向量，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。

作为入门篇今天先聊到这里。